Кружна линија, кружница, круг



Кружна линија (кружница) је скуп тачака у равни са особином да су све једнако удаљене од једне сталне тачке. Та стална тачка је центар кружнице, а константно растојање тачака од центра је полупречник кружнице. Круг је скуп тачака у равни са особином да је растојање тих тачака од једне сталне тачке мање или једнако од неке константе (круг је унија кружне линије и тачака из унутрашњости). У даљем тексту се неће правити разлика између кружне линије (кружнице) и круга, осим ако је потребно нагласити ту разлику.





Растојање тачке M(x,y) од центра круга C(p,q) рачуна се



Квадрирањем једнакости добија се канонска једначина круга



Ако је центар круга у координатном почетку C(0,0) онда је његова једначина



■


Пример 1.

Одредити једначину круга ако је дат центар C(-4,3) и тачка која припада кругу М(-1,-1).



r = MC



па је једначина круга



■


Једначина круга може бити дата и у општем облику



Kоефицијенти уз квадратне чланове морају бити једнаки. Једначина се може поделити са А и добија се једноставнији облик јер су уз квадратне чланове коефицијенти једнаки 1.



Ова једначина се допуњавањем чланова са х и са у до квадрата бинома може свести на канонски облик



Претходна једначина није увек једначина круга. Ако важи услов



онда је дата једначина једначина круга.
Координате центра круга и полупречник се могу одредити помоћу формула



или спровођењем описаног поступка.
■


Пример 2.

Одредити центар и полупречник круга који је дат једначином



Следећим поступком се добија решење



сређивањем претходне једначина добија се канонска једначина



Из једначине се прочитају координате центра С(3,-2) и полупречник r = 6.

Применом формула решење се могло добити и на следећи начин (ако памтите формуле)



■


Пример 3.

Одредити једначину круга која садржи три тачке А(-2,-6), В(7,-3) и С(2,2).



Тачке припадају кругу чија је једначина

          

Заменом координата тачака у једначини круга добиће се систем једначина




------------------------------------------------


----------------------------------------------------------------------


------------------------

Решења система су


Полупречник круга се добија заменом координата центра круга у некој од једначина, на пример

Једначина датог круга је



Решење се могло добити и тако што се одреде симетрале две тетиве круга и у пресеку тих симетрала налази се центар круга.


Једначине симетрала су

          

          

■


Решити из збирке задатке: 805; 806.б),в); 807.б),в) и 817.б)

■




Пример 4.

Одредити једначину круга који садржи тачке А(-6,5) и В(2,1), а центар му припада правој  .

Заменом координата тачака у једначини круга и координата центра круга C(p,q) у једначини праве добиће се систем




------------------------------------------------


----------------------------------------------------------------------
Решења система су .

Полупречник круга се добија заменом координата центра круга у некој од једначина, на пример



Једначина датог круга је



■

Права и круг
Tангенте круга



Права може сећи круг l1, или га додиривати t, или, права и круг не морају имати заједничких тачака l2.




Нека је права дата једначином    , а круг једначином   .

Ако је растојање праве од центра круга онда важи:

             - права сече круг l1;

             - права и круг немају заједничких тачака l2;

             - права је тангента круга t.

Растојање тачке од праве се одрећује формулом

           

Ако је права дата једначином    онда је треба превести у општи облик  .

Растојање центра круга од праве је



Ако је права тангента круга онда је



квадрирањем се добија



и сређивањем се добија услов додира праве и круга




Ако важи релација онда права нема заједничких тачака са кругом,

а ако важи онда права сече круг
■


Пример 1.

У једначини праве     одредити параметар m тако да она буде тангента круга   .

Из једначине праве се добија ,
а из једначине круга   .

Заменом добијених вредности у услову додира праве и круга добија се





Једначине тангенти су





■



Пример 2.

Одредити једначину тангенте круга    која садржи тачку  .

Свођењем једначине круга на канонски облик добија се



Координате центра и полупречник круга су



Једначина тангенте је



Тачка А припада тангенти па следи



Заменом у услову додира праве и круга добија се једначина по k



Сређивањем добиће се



Решавањем једначине добија се





Кроз тачку се могу поставити две тангенте на круг





■

Tангенте кроз тачку која припада кругу



Нека је једначина круга

Једначина тангенте која пролази кроз тачку која припада кругу може се одредити помоћу формуле



■


Пример 1.

Одредити једначину тангенте круга    која садржи тачку  .

Треба одредити ординату тачке М







Једначину круга треба свести на канонски облик









Заменом добијених вредности у образцу за једначину тангенте добија се



Једначина тангенте је





■



Пример 2.

Одредити једначину нормале круга    у његовој тачки  .







Једначина тангенте круга је





Нормала на круг у датој тачки је нормала на тангенту у тој тачки





Једначина нормале је





■



Пример 3.

Одредити једначину сечице круга    конструисану из тачке    која на том кругу одсеца тетиву дужине 10.



Сечица AN круга К је тангента круга К1 који је концентричан са кругом К.





Троугао CDN је правоугли па је



Једначина круга К1 је





Центар круга је у координатном почетку па је услов додира праве и круга



Тачка А припада сечици (тангенти) па следи







Сређивањем једначине се добија









Постоје две сечице које испуњавају дати услов





■