Линеарна функција са једном непознатом
Функција f: R→R облика
f(x) = kx + n или y = kx + n,
где су k и n
реалне константе је линеарна функција.
Ово је експлицитни облик функције. Осим овог облика користи се и имплицитни (општи) облик
Ax + By + C = 0, где су
A, B и C
реалне константе.
График (граф) функције је скуп свих тачака у правоуглом координатном систему одређен уређеним паровима
(x, f(x)), тј, график је скуп
G = {(x, y) | xєR, y = kx + n}.
График линеарне функције је права. Како је права одређена са две своје тачке за скицирање графика треба одредити две произвољне тачке праве.
Можемо узети две произвољне вредности за x и затим одредити вредности за y, или одредити координате тачака А(0, f(0)) и B(x = -n/k, 0)
Пример 1.
Скицирати график функције
y = 3x - 6.
Табела
График
Особине функције
1o Област дефинисаности (домен) функције
Домен реалне функције y = f(x) је скуп реалних вредности
независне променљиве x за које је вредност функције реална.
За функцију y = 3x - 6 домен је
Domf = (-∞, +∞) [ или Df: xє(-∞, +∞) ]
2o Нуле функције и пресек са
y осом
Нуле функције су вредности независне променљиве x за које је вредност функције једнака нули тј,
нуле функције су решења једначине kx +n = 0 (нуле су пресеци графика са x осом).
За функцију y = 3x - 6 нула је
x = 2
Пресек са y осом је вредност функције f(0). Коефицијенат n представља одсечак на y оси.
3o Знак функције
y > 0 за xє(2, +∞) [ график функције је изнад x осе ]
y < 0 за xє(-∞, 2) [ график функције је испод x осе ]
4o Монотоност функције
Коефицијенат k се зове коефицијенат правца и ако је k>0 функција је растућа и тада график (права) образује оштар угао са позитивним смером x-осе,
а ако је k<0 функција је опадајућа и тада график са позитивним смером x-осе образује туп угао.
Функција
y = 3x - 6 је растућа (y
) за
xє
R [
xє(-∞, +∞) ]
Кодомен функције (ограниченост функције)
Кодомен функције је скуп реалних вредности функције.
y є (-∞, +∞) [ функција није ограничена ]
■
Пример 2.
Скицирати график функције
y = -3x + 6.
Табела
График
Особине функције
1o Област дефинисаности функције
Domf = (-∞, +∞)
2o Нуле функције и пресек са
y осом
y = 0 
x = 2
x = 0 y = 6
3o Знак функције
y > 0 за x є (-∞, 2)
y < 0 за x є (2, +∞)
4o Монотоност функције
Функција је опадајућа за xє(-∞, +∞)
5o Кодомен функције
y є (-∞, +∞) [ функција није ограничена ]
■
Пример 3.
Скицирати график функције
y = 6.
Вредност функција је константна (y=6) и не зависи од променљиве
x. График функције је права која је паралелна
x оси.
Напомена: права
y = 0 je
x оса.
■
Закључак
У функцији
y = kx + n, к је коефицијенат правца праве,
а
n је одсечак на
y оси.
1o Ако је
k>0 функција је растућа и тада график (права) образује оштар угао са позитивним смером
x-осе.
2o Ако је
k<0 функција је опадајућа и тада график са позитивним смером
x-осе образује туп угао.
3o Ако је
k = 0 функција има константну вредност и график са позитивним смером
x-осе образује угао од 0
o степени,
тј. график је паралелан са
x-осом.
Овим обликом једначине нису обухваћене праве које су паралелне са
y-осом, тј. праве које са
x-осом образују угао од 90
o степени.
За ове праве
k није дефинисано (не постоји).
Праве нормалне на
x-осу се описују једначином
x = m.
Општим обликом једначине
Ax + By + C = 0
обухваћене су све праве.
■
Пример 4.
Скицирати график функције
y = │x│.
По дефиницији је
па се функција састоји од две гране
I x є (-∞, 0)
y = -x
II x є (0, +∞)
y = x
График
Особине функције
1o Област дефинисаности функције
Domf = (-∞, +∞)
2o Нуле функције и пресек са
y осом
y = 0 
x = 0
3o Знак функције
y > 0 за x є (-∞, 0) U (0, +∞)
4o Монотоност функције
Функција опада за x є (-∞, 0)
Функција расте за x є (0, +∞)
5o Локалне екстремне вредности
Функција има локални минимум у координатном почетку (функција опада па затим расте): fmin = f(0) = 0
6o Кодомен функције
y є [0, +∞) [ функција је ограничена са доње стране (y >= 0) ]
■
Пример 5.
Скицирати график функције
График се састоји из три гране
Прва грана је полуправа чији је крај тачка А, друга грана је дуж АВ и трећа грана је полуправа чији је почетак тачка В.
Особине функције
1o Област дефинисаности функције
Domf = (-∞, +∞)
2o Нуле функције
y = 0
x = 2/3 
x = 6
3o Пресек са
y осом
x = 0 y = -2
4o Знак функције
y > 0 за x є (2/3, 6)
y < 0 за x є (-∞, 2/3) U (6, +∞)
5o Монотоност функције
Функција расте за x є (-∞, 2)
Функција опада за x є (2, +∞)
6o Локалне екстремне вредности
Функција има локални максимум (функција расте па затим опада):
fmax = f(2) = 4
7o Кодомен функције
y є (-∞, 4] [ функција је ограничена са горње стране (y <= 4) ]
■
Пример 6.
Скицирати график функције
График се састоји из три гране
График функције
Навести особине функције.
■
Пример 7.
Скицирати график функције
Испитати гране и навести особине функције.
■
Пример 8.
Скицирати график функције
Сређивањем апсолутних вредности добија се
па се график се састоји од 4 гране
Табеле
График
Особине функције
1o Област дефинисаности функције
Domf = (-∞, +∞)
2o Нуле функције
y = 0
x = -1
x = 3
x = 5
x = 9
3o Пресек са
y осом
x = 0 y = 1
4o Знак функције
y > 0 за x є (-1, 3) U (5, 9)
y < 0 за x є (-∞, -1) U (3, 5) U (9, +∞)
5o Монотоност функције
Функција расте за x є (-∞, 1) U (4, 7)
Функција опада за x є (1, 4) U (7, +∞)
6o Локалне екстремне вредности
Функција има локалне максимуме: fmax1 = f(1) = 2,
fmax2 = f(7) = 2
и локални минимум: fmin = f(4) = -1
7o Кодомен функције
y є (-∞, +∞) [ функција није ограничена ]
■
Пример 9.
Дата је функција
y = (3k + 6)x + 4 - 2k. Одредити реалан параметар
k тако да функција буде растућа и да
y-осу сече у позитивном делу.
Функција ће бити растућа ако је 3k + 6 > 0 и сећи ће y-осу изнад координатног почетка ако је 4 - 2k > 0.
k є (-2, 2).
■
Пример 10.
Дата је функција формулом
(k + 1)x + (k - 1)y + 6 - 2k = 0. Одредити реалан параметар
k тако да график функције
а) буде паралелан са x-осом;
б) буде паралелан са y-осом;
в) пролази кроз координатни почетак.
Скицирати графике тих функција.
■
Пример 11.
Дате су функције
k(x - 2y - 1) + 8x + 2y = 0 и
y = 5x + 2,5k. Одредити реалан параметар
k тако да
графици функција буду паралелни.
Сређивањем прве функције добија се
■
