Пропорционалност дужи, Талесова теорема и сличност троуглова
Пропорционалност дужи и Талесова теорема
Нека су
дате дужи и нека је
јединична дуж. Дужина датих дужи се може записати
и
Ако се одреди размера ових дужи добиће се
,
при чему је
коефицијенат размере.
Размера ове две дужи је однос дужина дужи и не зависи од јединице мере. Размера ове две дужи ће увек бити
.
Ако за дужи
важи да је
,
тада је
, тј. дужи су у сразмери или пропорцији.
Талесова теорема
Нека су
праве које се секу у тачки
, и нека трансверзале
секу праве
тако да је
. Тада важи
Последица Талесове теореме
Ако важе услови из Талесове теореме тада важи
Пример 1.
У троуглу АВС дуж DE је паралелна са ВС.
Одредити:
а) АЕ, ако је BA=10, AD=16 и CA=20;
б) CE, ако је BD=5, AD=15 и AE=21.
Решења:
Пример 2.
Права
p која је паралелна страници ВС троугла АВС сече дужи АВ и АС редом у тачкама D и Е.
Права
q која садржи тачку С и паралелна је са ВЕ сече праву АВ у тачки F.
Доказати да је
.
Решења:
Пример 3.
Конструисати дуж
x ако је
x:a=b:c, при чему су
a, b и
c дате дужи
а) применом Талесове теореме;
б) применом поседице Талесове теореме.
Решења:
а)
Конструишу се две произвољне праве које се секу у тачки S. Затим се конструишу дужи
Кроз тачку В се конструише права паралелна са АС и добије тачка Х. Применом Талесове теореме доказује се да је конструисана тражена дуж.
б)
За конструкцију непознате дужи применом последице Талесове теореме пропорција мора бити записана у облику
Ако се примењује Талесова теорема свеједно је на ком се месту налази непозната дуж у пропорцији,
али ако се примењује последица Талесове теореме, онда непозната дуж мора бити други члан размере јер се у конструкцији дужи надовезују.
Конструишу се две произвољне праве које се секу у тачки S. Затим се конструишу дужи
Кроз тачку В се конструише права паралелна са АС и добије тачка Х. Применом Талесове теореме доказује се да је конструисана тражена дуж.
Напомена
За конструкцију применом последице Талесове теореме потребна је већа површина него при конструкцији применом Талесове теореме.
Код примене ТT
1 све дужи из пропорције имају заједнички почетак (тачка S),
а код примене ПТТ
2 дужи једне размере из пропорције се надовезују.
Код примене ТТ мора се водити рачуна како се повезују крајеви дужи и увек треба проверити да ли је конструкција урађена добро.
Шаблон за повезивање крајева дужи је
Код примене ПТТ увек повезујемо крајеве првог пара и крајеве другог пара дужи, па је могућност грешке мања.
Пример 4.
Конструисати дуж
x ако је
при чему су
a, b и
c дате дужи.
Дате једнакости треба превести у пропорције у којима ће непозната дуж бити само на једном месту и у којој се неће појављивати квадрати дужи.
За конструкцију помоћу ПТТ претходна пропорција мора се записати у облику
Помоћу Талесове теореме могу конструкцијски да се реше неке линеарне једначине као што су, на пример, ове две.
__________________
1 Талесова теорема.
2 Последица Талесове теореме.
Сличност и сличност троуглова
Дефиниција хомотетије
Нека је
O дата тачка и
дати број различит од нуле. Пресликавање
фигуре
у фигуру
при којем свакој тачки
одговара тачка
таква да је
, назива се хомотетија са центром
O и коефицијентом
. Пишемо
.
Дефиниција сличности
Пресликавање
фигуре
у фигуру
које тачке
преводи у тачке
тако да је
, где је
дати позитиван број, назива се
пресликавање сличности или сличност са коефицијентом
.
Хомотетија са коефицијентом
је пресликавање сличности.
Две фигуре су сличне ако постоји пресликавање сличности које једну фигуру преводи у другу.
Код сличности се углови пресликавају у једнаке углове а одговарајуће дужи су пропорционалне.
На основу тога се може закључити да су два троугла слична ако и само ако су им одговарајући унутрашњи углови
једнаки и одговарајуће странице пропорционалне.
Ставови сличности троуглова
1
o Троуглови
и
су слични акко су им одговарајуће странице пропорционалне.
2
o Троуглови
и
су слични акко су два угла једног троугла једнака
одговарајућим угловима другог троугла.
3
o Троуглови
и
су слични акко je jeдан пар страница једног троугла
пропорционалан одговарајућем пару страница другог троугла и углови захваћени овим страницама су једнаки.
4
o Троуглови
и
су слични акко je jeдан пар страница једног троугла
пропорционалан одговарајућем пару страница другог троугла и углови наспрам две одговарајуће странице су једнаки
а наспрам друге две одговарајуће су исте врсте (оба оштра, оба права или оба тупа).
Примена сличности на правоугли троугао
Висина
CD која одговара хипотенузи дели правоугли троугао
ABC на два троугла
ADC и
BDC.
Висина
CD дели хипотенузу на два одсечка
p и
q.
1
o, 2
o. Катета је геометријска средина хипотенузе и ближег одсечка хипотенузе.
3
o. Хипотенузина висина је геометријска средина одсечка на хипотенузи.
Особине 1
o, 2
o и 3
o су Еуклидови ставови.
Питагорина теорема се лако доказује применом Еуклидових ставова 1
o и 2
o.
Пример 5.
Нека је
p ортогонална пројекција катете
b,
а
q ортогонала пројекција катете
a на хипотенузу
c
(
p и
q су одсечци које висина одсеца на хипотенузи).
■
