Системи линеарних једначина

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА

Систем две линеарне једначине са две непознате

[ • Дефиниција система и графичка интерпретација ]

[ • Анализа система помоћу коефицијената ]

[ • Решавање система једначина ]

[ • Гаусова метода решавања система једначина ]

[ • Системи једначина са параметрима ]

Дефиниција система и графичка интерпретација

Свака конјукција две једначине која се еквивалентним трансформацијама своди на облик

је систем од две једначине са две непознате, при чему су

су коефицијенти уз непознате, а

су слободни коефицијенти.

Уређени пар

је решење система ако важи

За решавање система користе се разне методе. У основној школи су рађене метода замене и метода супротних коефицијената. Свака од једначине из система одређује једну праву

па се систем може решити графички. Пресек правих

је графичко решење система.

Пример 1.

Решити систем

графичком методом.

Са графика се могу прочитати приближна решења.

. Види се нпр. да

.

Графичка решења су приближна решења. Што се прецизније цртају графици то су и решења тачнија. Заменом решења у систему можемо проверити да ли смо добили тачна решења.

.

У овом случају су добијена тачна решења.

Аналитичким методама се увек добијају тачна решења. Методом супротних коефицијената се добија

■

Пример 2.

Решити систем

графичком методом.

Праве се поклапају и свака тачка правих је решење система, па систем има бесконачномного решења. Координате било које тачке са праве су решења система.

Аналитичко решење методом супротних коефицијената

Друга једначина има бесконачно много решења па ће и систем имати бесконачно много решења. Променљивој х можемо доделити било који број, а вредност променљиве y зависи од променљиве х и веза је дата једном од једначина.

Решења система су облика

На пример

■

Пример 3.

Решити систем

графичком методом.

Коефицијенти праваца правих су једнаки па су праве паралелне и немају заједничких тачака, па систем нема решење.

Аналитичко решење

Друга једначина нема решење, па ни систем нема решење.

■

Коефицијенти система једначина

Ако је

, онда систем није са две већ са једном непознатом.

Од коефицијената

зависе решења система.

На основу претходна три примера система

може се закључити

– У другом примеру су коефицијенти система пропорционални

и систем има бесконачно много решења. Праве се поклапају, тј. обе једначине одређују исту праву.

– У трећем примеру су коефицијенти уз непознате пропорционални, али слободни коефицијенти нису у тој пропорцији

и систем нема решење. Праве одређене системом су паралелне.

– У првом примеру коефицијенти уз непознате нису пропорционални

и систем има јединствено решење и није битно да ли су слободни коефицијенти пропорционални са неким паром коефицијената уз непознате. Праве одређене системом се секу у једној тачки.

Може се направити шема дискусије система

1^o

Систем има јединствено решење

2^o

Систем је неодређен и има има бесконашно много решења

3^o

Систем је немогућ, тј. нема решење

Израз

је детерминанта система, а изрази

су детерминанте променљивих.

Ако систем има јединствено решење онда су решења

■

Методе решавања система једначина

Постоје разне методе решавања система. У претходном делу је наведено решавање система помоћу детерминанти. Али, ако су све детерминате једнаке нули мора се применити нека друга метода за решавање система, нпр. Гаусова метода.

При решавању система линеарних једначина примењују се еквивалентне трансформације полазног система, тако да се он постепено поједностављује и доводи до облика из којег се вредности непознатих једноставно одређују. Еквивалентне трансформације су: замена места једначинама у систему, множење једначине константом (различитом од нуле) и додавање једне једначине другој. Понављањем тих трансформација долази се до решења полазног система једначина.

За систем са две једначине и две непознате често се користи једна модификација Гаусове методе, тзв. метода супротних коефицијената. Циљ је из једне од једначина елиминисати једну променљиву.

Пример 4.

Решити систем

.

Решење методом супротних коефицијената

Добијени су супротни коефицијенти уз непознату y

Сабирањем једначина прва једначина je са непознатом x, а друга једначина може бити било која од претходних једначина. Бира се она из које се најлакше добија решење за y

Решење методом замене

Решење методом детерминати

■

Пример 5.

Решити системе

а)

б)

в)

г)

д)

а)

Систем има јединствено решење

б)

Систем има јединствено решење

в)

Систем је неодређен и има бесконачно много решења

г)

Систем има бесконачно много решења

д)

Друга једначина је немогућа тј. нема решење па је и систем немогућ и нема решење.

■

Гаусова метода

Метода супротних коефицијената је варијанта Гаусове методе. За системе од три и више једначина и непознатих, метода супротних коефицијената није практична за решавање, јер се пишу једначина са помноженим коефицијентима. Због великог броја операција које треба извести при решавању система, метода замене се може применити до система са пет променљивих и пет непознатих. За решавање система са осам једначина и осам непознатих потребно је извести око 3.000.000 операција. Ако се једна операција изводи у једној секунди без пауза потребно је око два месеца да се реши тај систем методом замене.

У Гаусовој методи се изводи мањи број операција. При решавању система довољно је пратити коефицијенте уз непознате па се не морају писати једначине са помноженим коефицијентима. Не морају се писати ни променљиве.

Нака је дат систем

Гаусовом методом систем се решава тако што се једна од једначина сачува , а из остале две се елиминише једна од променљивих. Једначине и променљиве могу да мењају места.

У датом систему сачувамо нпр. прву једначину.

Затим прву једначину помножимо са

и додамо је другој. У другој једначини ће се изгубити прва променљива.

Затим се прва једначина помножи са

и дода трећој.

Друге две једначине у систему су са две непознате и систем се може записати

Затим се сличним поступком из треће једначине елиминише друга променљива и систем добија облик троугла

Из треће једначине се реши променљива z, затим из друге y и из прве x.

Пример 6.

Решити систем

Ако је уз неку променљиву коефицијенат једнак јединици, онда је најбоље сачувати ту једначину и поставити је да буде прва у систему. Код овог система у другој једначини је уз y јединица и у трећој је уз x јединица. Може се трећа једначина записати као прва и систем добија облик.

Прва једначина се помножи са -2 и дода другој, затим се прва помножи са -3 и дода трећој. Довољно је пратити коефицијенте уз непознате.

Друге две једначине су са две непознате. Сачува се друга и из треће се елиминише y.

Из добијеног система се лако одређују решења

■

Пример 7.

Решити систем

У првој једначини уз y је -1, па се прва једначина може искористити за елиминисање променљиве y из друге и треће једначине.

Прва једначина остаје непромењена. Затим се прва помножи са 2 и дода другој, па се прва дода трећој и добија се следећи систем.

Од треће једначине се одузме друга. Пошто се потиру обе променљиве, сачувамо једну од променљивих, нпр. x.

Трећа једначина има бесконачномного решења за x, па и систем има бесконачно много решења. За x одаберемо произвољан реалан број, а променљиве z и y се одрећују из друге и прве једначине.

Уместо променљиве x може се увести произвољна константа t. Решење система је уређена тројка

Ова уређена тројка се зове и вектор решења система. Ако се уместо променљиве x сачува променљива z онда је решење облика

■

Пример 8.

Решити систем

Трећа једначина нема решење, па ни систем нема решење.

■

Пример 9.

Решити систем

■

Системи са параметрима

Решавање и дискусија система са параметрима може да се реализује на више начина. Један од начина је да се примени Гаусова метода. Дискусија и решавање се спроводи на основу једначине која после одговарајућих трансформација садржи само једну променљиву.

Пример 10.

Решити систем