• Рационални алгебарски изрази - полиноми
• Рационални алгебарски изрази - разломци
• Линеарна једначина
• Линеарна функција
• Системи линеарних једначина
• Линеарне неједначине
• Сличност

• Литература

---

---

Дефиницијe

1^o Једначине P(x)=0 и Q(x)=0 су еквивалентне ако је свако решење једне једначине истовремено решење и друге једначине тј.   P(x₀) = 0 Q(x₀) = 0

2^o Под линеарном једначином са једном непознатом подразумева се свака једначина која се еквивалентним трансформацијама своди на једначину облика  .

Решити следеће једначине:


Пример 1.

■

---

Пример 2.

    не постоји ни један реалан број x за који је тачна претходна једнакост, тј, једначина нема решења.

■

---

Пример 3.     за сваки реалан број x је тачна претходна једнакост, тј, једначина има бесконачно много решења.

■

---

Дискусија једначине

Из претходна три примера се може закључити да решења једначине Ax = B зависе од вредности реалних коефицијената A и B. Уочавају се следеће три могућности.

1^o   A 0

Тада једначина има јединствено решење   .

2^o   A = 0, B 0

Тада се једначина своди на облик   0 · x = B.

Може се закључити да не постоји ни један реалан број x за који је тачна претходна једнакост, тј, једначина нема решењe. Каже се и да је једначина немогућа.

3^o   A = 0, B = 0

Тада се једначина своди на облик   0 · x = 0.

Решење претходне једначине је сваки реалан број x, тј, једначина има бесконачно много решења. Каже се и да је једначина неодређена.

---

---

Примери

1)   ;

2)   ;

3)   .

---

Решења

1)  

■

---

2)    

■

---

3)    

■

---

---

Једначине облика A·B = 0

Једначине облика     решавају се коришћењем еквиваленције

         

---

Пример 1.


Коришћењем претходне еквиваленције једначина     се решава следећим поступком

     

па су решења једначине
■

---

Пример 2.

Решење:




■

---

---

Једначине код којих се непозната појављује у имениоцу

Приликом трансформација једначина са рационалним алгебарским изразима код којих се непозната појављује у имениоцу морају се поставити услови под којима је дефинисана полазна једначина. Трансформације се изводе уз те услове. Неколико примера који следе илуструју овакве трансформације.

Једначине облика   решавају се коришћењем еквиваленције

       

---

Пример 1.

Једначина   се коришћењем претходне еквиваленције решава следећим поступком







па је једино решење једначине x = 0.

■

---

Пример 2.

      (1)

Сређивањем дате једначине добија се

  (2)

 (3)

Добијено решење није решење и полазне једначине (1), а то значи да једначине (1) и (3) нису еквивалентне једначине. Корак (2) може да се уради само уз услов . Почетна једначина није дефинисана за x = 1, а то значи да почетна једначина нема решење.

■

---

Пример 3.

      (4)

Сређивањем дате једначине добија се




  (5)
  (6)


 (7)

И у овом примеру добијено решење није решење полазне једначине (4), а то значи да једначине (4) и (7) нису еквивалентне. Трансформације у корацима (5) и (6) могу да се изведу само уз услове и . Почетна једначина није дефинисана за x = 1 и x = -2, а то значи да почетна једначина нема решење.

■

---

Пример 4.

      (8)

Сређивањем дате једначине добија се

  (9)



У овом примеру добијено решење јесте решење полазне једначине (8), али и x = 0 је решење једначине (8). Дељењем једначине са x "изгубило" се једно решење једначине - трансформација у кораку (9) није еквивалентна трансформација. Решења једначине су .

■

---

Пример 5.

   

Сређивањем дате једначине добија се



                                                                                                           





■

---

Пример 6. ■

---

Пример 7. ■

---

Пример 8.

■

---

Пример 9.

■

---

---

Једначине са параметрима

Решавање једначине са реалним параметрима се реализује тако што се једначина сведе на облик и затим се спроведе дискусија добијене једначине.

Пример 1.

Решити једначину   по непознатој x где је m реалан параметар.

■

---

Пример 2.

Решити једначину    (m є R).

■

---

Пример 3.

Решити једначину   ,  m є R.    (Вене - 1312. из 2004)

■

---

  Пример 4.

Решити једначину   ,  m є R.

Сређивањем дате једначине добија се

Једначина је сведена на облик за дискусију. Приликом дискусије пратимо једначину (*) или полазну једначину.

■

---

Пример 5.

Решити једначину   ,  m є R.

Сређивањем дате једначине добија се

Једначина (*) је сведена на облик за дискусију.

■

---